上海农家大院有几家？
“上海农家”，可能说的是老上海人自创的本帮菜，也可能是来自江苏苏南和浙江北部一带的土菜；但题主用的标题里带有“大院儿”“几家”这样具有北京特色的词语，那应该是想表达北京人聚餐饮酒的饭桌儿上出现的家常菜肴吧。 所以这问题提得有点歧义，我也答得有些莫名其妙……
不过既然如此，那就按我理解的题意来回答好了——“上海农家”大概是指上海本地或吴越地区(苏浙皖)有特色的家常菜肴吧——那么这个问题等价于“吴厨子”“浙厨子”“徽厨子”之类的问题了不是？ 我上海同事曾经用苏州话跟外地人打趣，自称“苏邦”，把苏州菜说成是“苏帮”（音同“苏邦”）；其实吴语区各地方的菜肴都有类似这样的称呼，比如嘉兴俗称“嘉帮”（读音“嘎帮”)、南京俗称“宁帮”（读音“你帮")。 这种叫法在媒体上出现过，最著名的大概是《舌尖上的中国》第一集“人类的餐桌”里面提到的“苏帮”菜（指苏州菜）。
还可以在旧社会上海的报纸副刊上看到，比如1943年6月20日，上海《新闻报》就登载了一篇题为《吃客与“苏帮”》的文字，其中对"苏帮”菜的定义是这样的：“至于‘苏帮’，乃吴语中之专有名词，含义较广，凡属于苏州及苏杭嘉湖一带之菜肴，皆称之为‘苏帮'。”（引自《现代汉语词典》第7版） 所以，“上海农家”就是“沪上乡间”的意思啦，也就是上海人的家常菜。